OrePolynomial[{{-6*t^3 - 77*t^4 - 224*t^5 + 2423*t^6 + 24313*t^7 + 
    77842*t^8 - 80992*t^9 - 1704112*t^10 - 7552624*t^11 - 19594592*t^12 - 
    33463168*t^13 - 37469440*t^14 - 24409088*t^15 - 4405248*t^16 + 
    5136384*t^17 + 2801664*t^18, {5}}, 
  {-78*t^2 - 792*t^3 + 1366*t^4 + 67754*t^5 + 451471*t^6 + 823806*t^7 - 
    6097608*t^8 - 52052064*t^9 - 203715664*t^10 - 506408864*t^11 - 
    852014848*t^12 - 956394240*t^13 - 640398336*t^14 - 140187648*t^15 + 
    115802112*t^16 + 70041600*t^17, {4}}, 
  {6*(-44*t - 211*t^2 + 5476*t^3 + 74819*t^4 + 341078*t^5 - 360512*t^6 - 
     12937660*t^7 - 79789878*t^8 - 286762296*t^9 - 690504880*t^10 - 
     1149974368*t^11 - 1296720032*t^12 - 891342848*t^13 - 225887488*t^14 + 
     137592832*t^15 + 93388800*t^16), {3}}, 
  {12*(-18 + 203*t + 7751*t^2 + 66129*t^3 + 100476*t^4 - 2502884*t^5 - 
     25305988*t^6 - 131291574*t^7 - 444859834*t^8 - 1047522644*t^9 - 
     1734991048*t^10 - 1969673520*t^11 - 1388862016*t^12 - 395630208*t^13 + 
     181174272*t^14 + 140083200*t^15), {2}}, 
  {12*(225 + 3848*t + 12027*t^2 - 271680*t^3 - 4068580*t^4 - 29516276*t^5 - 
     138268306*t^6 - 450672784*t^7 - 1047087968*t^8 - 1733155264*t^9 - 
     1985895712*t^10 - 1436094720*t^11 - 450772224*t^12 + 155959296*t^13 + 
     140083200*t^14), {1}}, 
  {24*(-99 - 3526*t - 54605*t^2 - 506770*t^3 - 3165992*t^4 - 13995892*t^5 - 
     44667458*t^6 - 103342756*t^7 - 171849128*t^8 - 199307344*t^9 - 
     147846720*t^10 - 50425728*t^11 + 13074432*t^12 + 14008320*t^13), {0}}}, 
 OreAlgebraObject[{Der[t]}, Together, Together[#1 + #2] & , 
  Together[#1*#2] & , None], DegreeLexicographic]
