OrePolynomial[{{9*t^2 + 142*t^3 + 694*t^4 - 3166*t^5 - 51308*t^6 - 
    211104*t^7 - 12384*t^8 + 3488032*t^9 + 17355072*t^10 + 48602368*t^11 + 
    95639040*t^12 + 149026816*t^13 + 195727360*t^14 + 207601664*t^15 + 
    155811840*t^16 + 68681728*t^17 + 12582912*t^18, {5}}, 
  {81*t + 938*t^2 - 1470*t^3 - 101592*t^4 - 792672*t^5 - 1930544*t^6 + 
    9340256*t^7 + 96911616*t^8 + 408737536*t^9 + 1087134464*t^10 + 
    2068002816*t^11 + 3090608128*t^12 + 3890388992*t^13 + 4039819264*t^14 + 
    3043557376*t^15 + 1362624512*t^16 + 251658240*t^17, {4}}, 
  {8*(18 - 18*t - 5182*t^2 - 63929*t^3 - 296410*t^4 + 467888*t^5 + 
     14312815*t^6 + 92806556*t^7 + 351655736*t^8 + 898825168*t^9 + 
     1662667280*t^10 + 2394757376*t^11 + 2893626496*t^12 + 2940108800*t^13 + 
     2225258496*t^14 + 1013710848*t^15 + 188743680*t^16), {3}}, 
  {24*(-132 - 2496*t - 15216*t^2 + 51912*t^3 + 1634568*t^4 + 14291775*t^5 + 
     74716450*t^6 + 263084516*t^7 + 652205000*t^8 + 1179216448*t^9 + 
     1643797952*t^10 + 1909065984*t^11 + 1896579072*t^12 + 1443299328*t^13 + 
     670302208*t^14 + 125829120*t^15), {2}}, 
  {96*(108 + 2916*t + 40128*t^2 + 364584*t^3 + 2340024*t^4 + 10822811*t^5 + 
     36204934*t^6 + 87720572*t^7 + 155726488*t^8 + 210888800*t^9 + 
     235657792*t^10 + 228687872*t^11 + 175144960*t^12 + 83099648*t^13 + 
     15728640*t^14), {1}}}, OreAlgebraObject[{Der[t]}, Together, 
  Together[#1 + #2] & , Together[#1*#2] & , None], DegreeLexicographic]
