OrePolynomial[{{-3*t^2 + 57*t^3 - 108*t^4 - 990*t^5 + 2420*t^6 - 1888*t^7 + 
    21184*t^8 + 9536*t^9 - 212992*t^10 + 491520*t^11 - 1520640*t^12 + 
    2253312*t^13 - 2036736*t^14 + 995328*t^15, {5}}, 
  {-27*t + 540*t^2 - 1854*t^3 - 11304*t^4 + 45328*t^5 - 7128*t^6 + 
    143168*t^7 + 337088*t^8 - 3848960*t^9 + 7762176*t^10 - 25803264*t^11 + 
    43416576*t^12 - 38486016*t^13 + 21399552*t^14, {4}}, 
  {4*(-12 + 279*t - 1851*t^2 - 8781*t^3 + 63678*t^4 - 25114*t^5 + 17692*t^6 + 
     485664*t^7 - 4974432*t^8 + 9053472*t^9 - 30643776*t^10 + 64438272*t^11 - 
     55655424*t^12 + 35831808*t^13), {3}}, 
  {12*(24 - 417*t - 2598*t^2 + 41718*t^3 - 57312*t^4 + 4576*t^5 + 
     180616*t^6 - 2722400*t^7 + 4921152*t^8 - 13838976*t^9 + 45449856*t^10 - 
     37886976*t^11 + 28864512*t^12), {2}}, 
  {24*(120 - 303*t + 11604*t^2 - 37278*t^3 + 27156*t^4 - 49360*t^5 - 
     572864*t^6 + 1379808*t^7 - 910272*t^8 + 14918400*t^9 - 11833344*t^10 + 
     10948608*t^11), {1}}, {288*(-11 + 28*t - 616*t^2 + 252*t^3 - 2810*t^4 - 
     3408*t^5 + 17296*t^6 + 40416*t^7 + 146400*t^8 - 108288*t^9 + 
     124416*t^10), {0}}}, OreAlgebraObject[{Der[t]}, Together, 
  Together[#1 + #2] & , Together[#1*#2] & , None], DegreeLexicographic]
