Mathematik und Logik

6. Übungsaufgaben im 2007W

für 2007-11-20

1. Welchen Datentyp hat eine Funktion der Form
   

   (x,(y,z)) ↦ ( (x,y),z ).

   Welche Aussage wird dadurch bewiesen?
2. Bestimmen Sie für die Beispiele 6-8 der Übungsaufgaben von letzter Woche entsprechende Beweisterme.
3. Beweisen Sie die Aussage:
   

   ∀x∊ X(A[x]⇒ B[x]) ⇒ ∀x∊ X(B[x]⇒ C[x]) ⇒ ∀x∊ X(A[x]⇒ C[x]).
4. Beweisen Sie
   

   ∃x∊ X(A[x]∧ B[x]) ⇒ ∃x∊ XA[x] ∧ ∃x∊ X B[x].
5. Beweisen Sie die Aussage:
   

   ∃x∊ X∀y∊ YA[x,y] ⇒ ∀y∊ Y∃x∊ XA[x,y].
6. Gilt im vorigen Beispiel auch die Umkehrung?
7. Beweisen Sie:
   

   ∃x∊ X   A(x) ⇒ B   ⇒   ∀x∊ XA(x)   ⇒ B
8. Für zwei Funktionen f,g ∊ X→ Y ist die Gleichheit definiert durch
   

   f=g ⇔ ∀x∊Xf(x)=g(x).

   Prüfen Sie nach, ob diese Relation tatsächlich transitiv ist.