\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\newcommand{\VecThree}[3]{\begin{pmatrix}{#1}\\{#2}\\{#3}\end{pmatrix}} 

\bibliographystyle{plain}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\begin{large}
{\bf \"Ubungen zu \\Lineare Algebra und Analytische Geometrie II \\
\vspace{0.1cm}
12. {\"U}bungsblatt, f{\"u}r den 13. Juni 2005}
\end{large}
\end{center}
\vspace{0.3cm}

\begin{enumerate}
\item
 Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenr\"aume von
 $h: \R^3\rightarrow\R^3, (x_1,x_2,x_3) \mapsto (x_3,x_1,x_2)$.



\item
 Sei $\lambda$ ein Eigenwert von $A$. Zeigen Sie:
\begin{enumerate}
\item
 f\"ur $m\in\N$ ist $\lambda^m$ ein Eigenwert von $A^m$.
\item
 falls $A$ regul"ar ist, ist $\lambda^{-1}$ ein Eigenwert von $A^{-1}$.
\end{enumerate} 

\item
 Diagonalisieren Sie
\[ A = \left(\begin{array}{rrr}
                  89 &  -5 &  -2 \\
                  -5 &  65 & -10 \\
                  -2 & -10 &  86 
              \end{array}\right) \]
 mit einer orthogonalen Matrix aus $\R^3_3$.

\item
 Seien $h,h'\in\Hom(\R^n,\R^n)$ symmetrisch.
 Zeigen Sie, dass es genau dann eine $ONB$ $B$ von $\R^n$ gibt, sodass
 $A_{h,B,B}$ und $A_{h',B,B}$ Diagonalform haben,
 wenn $h\circ h' = h'\circ h$.

\item
 Sei $(\C_n,\sigma)$ ein unit\"arer Raum mit $\sigma(x,y) = x^t\cdot \bar{y}$,
 und sei $A\in\C^n_n$.
 Dann heisst $A^*\in\C^n_n$ die zu $A$ adjungierte Matrix wenn
\[ \sigma(A\cdot x,y) = \sigma(x,A^*\cdot y) \text{ f\"ur alle } x,y\in\C_n. \]
 Geben Sie den Zusammenhang zwischen $A$ und $A^*$ explizit an.  

\item
 Zeigen Sie, dass die Eigenwerte einer hermiteschen Matrix $A$ alle reell sind.

 Hinweis: Zeigen Sie, dass $\sigma(Ax,x)$
 (mit $\sigma$ wie in der vorigen Aufgabe) immer reell ist.

\item
 Zeigen Sie den {\bf Spektralsatz f\"ur hermitesche Matrizen:} \\
 Sei $A\in\C^n_n$ hermitesch. Dann gibt es eine unit\"are Matrix $C\in\C^n_n$
 und $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\R$, sodass
\[  \bar{C}^t\, A\, C = \diag(\lambda_1,\ldots,\lambda_n). \]

 Hinweis: Verwenden Sie die vorangehenden 2 Aufgaben und f\"uhren Sie den
 Beweis wie in der Vorlesung f\"ur den Spektralsatz f\"ur symmetrische
 Matrizen.
 
\item
 Die Fibonacci-Folge ist definiert durch die Rekursion $x_n = x_{n-1}+x_{n-2}$
 f\"ur $n\geq 2$ und $x_1 = x_0 = 1$.

 Geben Sie eine explizite Formel f\"ur $x_n$ an.
\end{enumerate}     


\end{document}




