\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\begin{large}
{\bf \"Ubungen zu \\Lineare Algebra und Analytische Geometrie II \\
\vspace{0.1cm}
11. {\"U}bungsblatt, f{\"u}r den 06.~Juni~2005}
\end{large}
\end{center}
\vspace{0.3cm}

\begin{enumerate}
\item (Mathematica) Legen Sie die "bestapproximierende'' Polynomfunktion vom Grad 2 durch die Punkte $(10,81)$, $(20,360)$,  $(25,575)$, $(35,1155)\in\R^2$.

\item Bestimmen Sie eine $QR$-Zerlegung f"ur 
\[
A= 
  \begin{pmatrix}
    1  & -4 &5 \\
    1&-5&1\\
    -1&6&1\\
    1&-5&3 
  \end{pmatrix}
  \in \R_3^4.
\]

\item Zeigen oder widerlegen Sie: 
    \begin{enumerate}
    \item "Aquivalente Matrizen haben dasselbe charakteristische Polynom.
    \item Kongruente Matrizen haben dasselbe charakteristische Polynom.
    \item Falls zwei Matrizen dieselben Eigenwerte haben, haben sie dann auch dasselbe charakteristische Polynom?
    \end{enumerate}

\item Zeigen oder widerlegen Sie:
    \begin{enumerate}
    \item $A\approx B \Rightarrow Sp(A)=Sp(B)$,
    \item $Sp(A)=Sp(B)\Rightarrow A\approx B$.
    \end{enumerate}

\item Finden Sie alle Eigenwerte und die zugeh"origen Eigenr"aume der Matrizen 
\[
    \begin{pmatrix}
  b&a&0\\
  0&b&a\\
  0&a&b
    \end{pmatrix}\in \R_3^3\quad \text{und}\quad
    \begin{pmatrix}
    0&0&-2\\
    1&2&1\\
    1&0&3
    \end{pmatrix}\in \R_3^3.
\] 


\item Gegeben ist die Matrix
\[
A=
\begin{pmatrix}
-2&-8&-12\\
1&4&4\\
0&0&1
\end{pmatrix}\in\R_3^3
\]
 Zeigen Sie, dass $A$ diagonalisierbar ist und geben Sie $C$ mit $C^{-1}AC=diag(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ explizit an. 

\item Seien $A,B\in K_n^n$. Zeigen Sie, dass $AB$ und $BA$ dieselben Eigenwerte haben. 

\item Die Matrix $C=\begin{pmatrix} 1&2&3\\ -1&2&1\\ -1&-2&-3\end{pmatrix}$ ist nilpotent, da $C^3=0$. Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von $C, C^2$ und $C^3$.
\end{enumerate}     


\end{document}




