\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\begin{large}
{\bf \"Ubungen zu \\Lineare Algebra und Analytische Geometrie II \\
\vspace{0.1cm}
10. {\"U}bungsblatt, f{\"u}r den 30.Mai 2005}
\end{large}
\end{center}
\vspace{0.3cm}

\begin{enumerate}

\item Zeigen Sie f"ur die Lorentz Transformation dass $L_v^{-1}=L_{-v}$.

\item Zeigen Sie: Ist $(V,\sigma)$ ein endlich dimensionaler euklidischer Raum und sind $U$ und $W$ Unterr"aume von $V$, dann gilt:
    \begin{enumerate}
    \item $(W^\perp)^\perp=W$,
    \item $(U+W)^\perp=U^\perp\cap W^\perp$,
    \item $(U\cap W)^\perp=U^\perp+W^\perp$.
    \end{enumerate}
    
\item Finden Sie das orthogonale Komplement von $W=L(1-x^2)$ in $V=P_2(\mathbb{R})$ mit dem inneren Produkt  $\langle f,g\rangle=\int_0^1 f(x)g(x)dx$. \\
Bestimmen Sie weiters f"ur $p(x)=2x^2+4x+\tfrac{1}{2}$ Polynomfunktionen $w_1\in W$ und $w_2\in W^\perp$ so dass $p=w_1+w_2$. 

\item Zeigen Sie, dass alle Blockdiagonalmatrizen, d.h. Matrizen der Form \linebreak $diag(A_1,\ldots, A_n)$ mit $A_i$ aus $\{(1),(-1),D_\varphi\}$, orthogonal sind.

\item Finden Sie eine orthogonale Matrix, deren zweite Zeile $(3/5,0,-4/5)$ lautet. 

\item Zeigen oder widerlegen Sie f"ur $A\in\mathbb{R}_2^2$:
\[
h:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, 
  \begin{pmatrix}
    x  \\
    y  
  \end{pmatrix}
\mapsto A
\begin{pmatrix}
    x  \\
    y  
  \end{pmatrix}
\]
ist orthogonal genau dann wenn $A$ orthogonal ist.

\item Sei $(V,\sigma)$ ein euklidischer Raum und $h:V\to V$ orthogonal. Zeigen Sie f"ur $v\neq 0$, $\lambda\in\mathbb{R}$:
\[
h(v)=\lambda v \Rightarrow \lambda\in\{1,-1\}.
\]

\item (Mathematica) Gegeben seien $v_1=(1,2,3,0)$, $v_2=(1,0,2,1)$ und $v_3=(1,1,1,1)$. Bestimmen Sie jeweils die Projektionen von $v_i$ auf $U=L(v_j,v_k)$ mit $i\neq j\neq k\neq i$, sowie die Darstellungen $v_i=w_1+w_2$ mit $w_1\in U$ und $w_2\in U^\perp$.



\end{enumerate}     


\end{document}




