\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[german]{babel}
\usepackage{amsmath,a4}
\usepackage{amssymb}

\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\GL}{\mathrm{GL}}

\newcommand{\id}{\operatorname{id}}

\newcommand{\VecThree}[3]{\begin{pmatrix}{#1}\\{#2}\\{#3}\end{pmatrix}} 

\bibliographystyle{plain}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\begin{large}
{\bf \"Ubungen zu \\Lineare Algebra und Analytische Geometrie II \\
\vspace{0.1cm}
9. {\"U}bungsblatt, f{\"u}r den 23.Mai 2005}
\end{large}
\end{center}
\vspace{0.3cm}

\begin{enumerate}

\item
 Ist $\sigma: ((u_1,u_2),(v_1,v_2)) \mapsto u_1v_1-u_2v_2$ ein inneres Produkt
 auf $\R^2$?

\item
 (Bsp. 50.2 b der Vorlesung) F\"ur $A\in\GL(n,\C)$, sei
 $\sigma: \C^n\times\C^n\rightarrow\C, (v,w)\mapsto v\cdot(A^t\cdot \bar{A})\cdot w^t$.
 Zeigen Sie, dass $(\C^n,\sigma)$ ein komplexer innerer Produktraum ist.

\item
 Sei $(V,\sigma)$ ein unit\"arer Raum mit der von $\sigma$ induzierten Norm
 $||.||$. Zeigen Sie, dass $\sigma$ durch $||.||$ eindeutig bestimmt ist.

 Hinweis: Zeigen Sie f\"ur alle $x,y\in V$:
\[ 4 \sigma(x,y) = ||x+y||^2 - ||x-y||^2 + i ||x+iy||^2 - i ||x-iy||^2. \] 

 Ist auch in Euklidischen R\"aumen das Skalarprodukt durch die 
 induzierte Norm eindeutig bestimmt?
 
\item
 (Bsp. 50.5 der Vorlesung) Zeigen Sie, dass die Maximumsnorm auf $\R^2$
 nicht von einem inneren Produkt induziert wird. 

\item
 Ist die Hamming-Distanz auf $\Z_2^n$ eine Metrik?
% Sei $V = \Z_2^n$, und sei $d: \Z_2^n \times \Z_2^n \rightarrow \Z,
% (v,w) \mapsto |\{ i\in\{1,\ldots,n\}\ |\ v_i\neq w_i \}$.

\item
 Orthonormalisieren Sie die folgenden Familien von Vektoren des $\R^3$
 bez\"uglich des gew\"ohnlichen Skalarprodukts mit dem Verfahren von
 Gram-Schmidt:
      \begin{enumerate} 
      \item $B = \left(\VecThree{2}{0}{0}, \VecThree{3}{-1}{0}, \VecThree{1}{2}{3}\right)$ 
      \item $C = \left(\VecThree{1}{0}{-1}, \VecThree{2}{0}{1}, \VecThree{0}{1}{0}\right)$
      \end{enumerate} 


\item
 {\bf Legendre'sche Polynomfunktionen.} 
 Sei $f_i: \R\rightarrow\R,\ x \mapsto x^i,$ f\"ur $i\in\{0,1,2\}$.
 Orthonormalieren Sie $\{f_0,f_1,f_2\}$ bez\"uglich des inneren Produkts
 $\sigma(f,g) := \int_{-1}^1 f(x)g(x)\, dx$ mit dem Verfahren von Gram-Schmidt.

\item
 Zeigen Sie:
 Sei $\sigma$ ein inneres Produkt auf $V := \R^n$. 
 Sei $B$ eine Basis von $V$, und sei $D$ die zu $B$ geh\"orige mit dem
 Verfahren von Gram-Schmidt orthonormalisierte Basis.
%
 Dann sind $B$ und $D$ gleich orientiert.

\end{enumerate}     


\end{document}




