\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\bibliographystyle{plain}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\begin{large}
{\bf \"Ubungen zu \\Lineare Algebra und Analytische Geometrie II \\
\vspace{0.1cm}
7. {\"U}bungsblatt, f{\"u}r den 2.Mai 2005}
\end{large}
\end{center}
\vspace{0.3cm}

\begin{enumerate}

\item Sei $(a_{ij})\in \Z_n^n$ mit $a_{ij}=i+j-1$. Zeigen Sie, dass $det(A)=0$ f"ur $n\geq 3$ gilt.

\item Zeigen oder widerlegen Sie f"ur quadratische und regul"are Matrizen $A,B$:
    \begin{enumerate}
    \item $det(A+B)\geq det(A-B)$,
    \item $det(A^{-1})+det(B^{-1})\geq det(A^{-1}+B^{-1})$,
    \item $A\sim B\Rightarrow det(A)=det(B)$.
    \end{enumerate}

\item Berechnen Sie $A_{ad}$ f"ur 
$
A=
  \begin{pmatrix}
    1&2&4\\
    4&5&6\\
    4&6&8\\
    \end{pmatrix}
$
und bestimmen Sie daraus die inverse Matrix von $A$. 

\item Seien $A,B\in\R_n^n$ regul"are Matrizen. Zeigen Sie: $(A\cdot B)_{ad}=B_{ad}\cdot A_{ad}$.

\item L"osen Sie folgendes Gleichungssystem "uber $\R$ mit der Cramer`schen Regel:
\begin{align*}
3x-2y+5z&=-1\\
2x-y+z&=3\\
x+y+3z&=3
\end{align*}


\item Berechnen Sie $det(A)$ f"ur 
$
A=\begin{pmatrix}
    1&1&1&1\\
    1&x&1&1\\
    1&1&x^2&1\\
    1&1&1&x^3\\
\end{pmatrix}
\in(\R[x])^4_4.
$
Ist $A$ invertierbar?

\item Sei $V$ ein Vektorraum "uber einen K"orper $K$ und $\sigma: V \times V$ eine symmetrische Bilinearform. Sei $d:V\to K$ definiert als $d(x):=\sigma(x,x)$. Zeigen Sie, dass 
\begin{enumerate}
\item f"ur alle $x,y\in V$ gilt $\sigma(x+y,x-y)=d(x)-d(y)$,
\item f"ur alle $x,y\in V$ gilt $d(x+y)+d(x-y)=2(d(x)+d(y))$,
\item f"ur alle $x,y\in V$ ein Polynom $p\in K[x]$ existiert mit $Gd(p)\leq 2$, so dass $\forall t\in K: d(x+ty)=\overline{p}(t)$.
\end{enumerate}

\item Sei $\sigma: (\R_3)^2\to \R$, $(x,y)\mapsto 
(x_1,x_2,x_3)\cdot 
\begin{pmatrix} 
4y_1+8y_2-6y_3\\
8y_1-5y_2+y_3\\
-6y_1+y_2+y_3
\end{pmatrix}$. \\
Finden Sie eine Basis $C$ des $\R_3$, so dass, $A_{\sigma;C,C}$ Diagonalform hat. 


\end{enumerate}     


\end{document}




