\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\bibliographystyle{plain}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\begin{large}
{\bf \"Ubungen zu \\Lineare Algebra und Analytische Geometrie II \\
\vspace{0.1cm}
4. {\"U}bungsblatt, f{\"u}r den 11.April 2005}
\end{large}
\end{center}
\vspace{0.3cm}

\begin{enumerate}

\item Zeigen Sie Satz 32.9 aus dem Skriptum.

\item (M) Schreiben Sie eine MATHEMATICA Funktion, die bei gegebener Adjazenzmatrix testet, ob
eine Relation R (a) reflexiv, (b) symmetrisch, (c) transitiv ist. 

\item Sei $A \in \mathbb{R}^k_k$ und sei $A^n=0$ f"ur ein $n\in\mathbb{N}$. Zeigen oder widerlegen Sie:
\begin{itemize}
\item $(E-A)$ ist regul\"ar.
\item Eine positive Matrix mit $A^n=0$ ist stets produktiv.
\end{itemize}

\item In einer Stadt befinden sich drei gro\ss e Industriebetriebe: Eine Raffinerie, ein E-Werk und
eine Busunternehmen. Um Treibstoff im Wert von einem Euro zu produzieren, ben\"{o}tigt die Raffinerie 0,1 Euro Strom und 0,5 Euro Transportkapazit\"{a}ten. Um Elektrizit\"{a}t im Wert von einem Euro zu produzieren, ben\"{o}tigt das E-Werk Strom f\"{u}r je 0,05 Euro, Treibstoff f\"{u}r je 0,65 Euro und Transportkapazit\"{a}ten f\"{u}r je 0,1 Euro. Um eine Transportkapazit\"{a}t im Wert von einem Euro zu erreichen, ben\"{o}tigt das Busunternehmen Treibstoff zu 0,2 Euro  und Strom um 0,4 Euro. Wieviel muss jeder der drei Betriebe produzieren, um sowohl die eigenen
Bed\"{u}rfnisse erf\"{u}llen und zus\"atzlich Treibstoff um 50000 Euro und Strom um 20000 Euro  liefern zu k\"{o}nnen?


\item Auf einem Marktstand sollen Getr\"{a}nke verkauft werden. Das daf\"{u}r vorgesehene Budget betr\"{a}gt 100,- Euro und muss vollst\"andig ausgesch"opft werden. Der zur Verf\"{u}gung gestellte K\"{u}hlschrank bietet Platz f\"ur maximal 100 Flaschen. Folgende Tabelle bietet einen \"Uberblick \"uber die jeweilige Mindestbestellmenge beim Lieferanten (in St\"uck), den Ein- und Verkaufspreis (in Euro) der jeweiligen Getr\"anke, welche sp\"ater flaschenweise verkauft werden sollen. 
\begin{center}
\begin{tabular}{cccc}
Getr"ank &Einkaufspreis & Verkaufspreis &Mind. Menge\\
A & 5&7&5\\
B & 3& 5&5\\
C & 0.5 & 1&5\\
\end{tabular}
\end{center}

Wieviele Flaschen der jeweiligen Sorten sollen angeschafft werden, wenn als einziges Einkaufskriterium die Gewinnmaximierung herangezogen wird? Wie lautet das entsprechende Optimierungsproblem?

\item Finden Sie optimale Strategien f\"{u}r folgendes Spiel! Bestimmen Sie den Wert des Spieles? Ist es fair?
\[
  \begin{pmatrix}
    -10&0&30&20 \\
    -20 & -10 & 20 & 20\\ 
    10 & 50 & 40 & 20\\
    -30 & 10 & -10 & 0\\
  \end{pmatrix}
\]

\item Sei $C$ ein linearer bin\"{a}rer Code mit Kontrollmatrix
\[
    \begin{pmatrix}
        0&0&1&1&0&0&1&1\\
        0&1&1&0&0&1&1&0\\
        0&0&1&0&1&1&0&1\\
        1&1&0&0&1&1&0&0\\
    \end{pmatrix}
\]
Wieviele Codew\"{o}rter besitzt $C$? Was ist die Informationsrate von $C$? Versuchen Sie $(0,1,0,0,1,0,1,1)$ und $(1,0,0,1,0,1,1,1)$ zu dekodieren. 

\item Berechnen Sie die Minimaldistanz des bin\"{a}ren Codes  mit der Kontrollmatrix
\[
    \begin{pmatrix}
        1&0&0&1&0&1\\
        0&1&0&0&1&1\\
        1&1&1&0&0&0\\
    \end{pmatrix}
\]

\end{enumerate}     


\end{document}




