\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[german]{babel}
\usepackage{amsmath,a4}
\usepackage{amssymb}

\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}

\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}

\newcommand{\MatTwo}[4]{\left( 
    \begin{array}{cc} 
        {#1} & {#2} \\ {#3} & {#4}
    \end{array} 
    \right) } 


\bibliographystyle{plain}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\begin{large}
{\bf \"Ubungen zu \\Lineare Algebra und Analytische Geometrie II \\
\vspace{0.1cm}
3. {\"U}bungsblatt, f{\"u}r den 4.~April 2005}
\end{large}
\end{center}
\vspace{0.3cm}

 {\bf Lineare Funktionale, Darstellungsmatrizen, Basistransformationen,
 affine Abbildungen:}

\begin{enumerate}
\item
 Sei $V = P_n(\mathbb{R})$ und f"ur $0\leq i\leq n$ sei
\[ d_i: V\rightarrow\R,\ p \mapsto p^{(i)}(0) \]
 das lineare Funktional, welches f\"ur eine Polynomfunktion $p$ die
 $i$-te Ableitung $p^{(i)}$ von $p$ an der Stelle $0$ auswertet.

 Zeigen Sie, dass $(d_i)_{0\leq i\leq n}$ eine Basis von $V^*$ bildet.

\item
 Sei $V$ ein Vektorraum \"uber einem K\"orper $K$. Zeigen Sie:
 \[ \forall\varphi,\psi\in V^{*}: (\Ker\varphi=\Ker\psi \Rightarrow \exists\lambda\in K: \varphi=\lambda\psi) \]
 Hinweis: F\"ur $\psi(v_{0})\neq 0$ setzen Sie $\lambda = \varphi(v_{0})/\psi(v_{0})$. 

\item
 Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix f\"ur die lineare Abbildung
 $h: \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\ (x,y,z) \mapsto(2x-y+3z,-x+2z)$
 \begin{enumerate}
 \item bez"uglich der kanonischen Basen des $\mathbb{R}^3$ bzw. $\mathbb{R}^2$.
 \item bez"uglich $B = ((1,1,0),(-1,0,1),(2,7,1))$ und
       $C=((1,-1),(1,3))$.
 \end{enumerate}
 Geben Sie $\Ker h$ und $\Im h$ an.

\item
 Geben Sie f\"ur den Homomorphismus 
\[ h: {P_2(\R)}\rightarrow {P_3(\R)},\ p\mapsto (1-x)\cdot p, \]
 die Darstellungsmatrix $A_{h;B,C}$ bez\"uglich der Basen $B = (1,1+x,1+x+x^2)$
 und $C = (1,1+x,x+x^2,x^2+x^3)$ an.

\item
 Sei $d_\alpha$ die lineare Abbildung, die einer Drehung der Vektoren des
 $\mathbb{R}^2$ um den Winkel $\alpha$ gegen den Uhrzeigersinn mit Mittelpunkt
 $(0,0)$ entspricht.

 Weiters sei $s_\beta$ jene lineare Abbildung, die einer Spiegelung an einer 
 durch $(0,0)$ gehenden unter dem Winkel $\beta$ zur $x$-Achse geneigten
 Geraden entspricht.

 Geben Sie Matrixdarstellungen f"ur $d_\alpha$ und $s_\beta$ bez"uglich der
 kanonischen Basis an. Bildet
 $\{d_\alpha\ |\ \alpha\in [0,2\pi[ \}\cup\{s_\beta\ |\ \beta\in [0,2\pi[ \}$
 eine Gruppe bez\"uglich Hintereinanderausf\"uhren?

\item
 Sei $U$ ein Unterraum des $\R^2_2$ mit Basen
 $B = (\MatTwo{1}{0}{2}{3}, \MatTwo{-3}{2}{0}{1}, \MatTwo{0}{5}{0}{-2})$ und
 $C = (\MatTwo{1}{1}{0}{-1}, \MatTwo{2}{0}{-1}{-3}, \MatTwo{2}{-1}{1}{1}$.
 Bestimmen Sie die Basistransformationsmatrix $A^B_C$.

\item
 Die Abbildung, die jedem Vektor eines Vektorraums $V = \mathbb{R}^n$, den ihm
 n"achstliegenden Vektor eines Unterraums $U\leq V$ zuordnet, ist linear und
 hei\ss t \emph{Projektion}.
\begin{enumerate}
\item
 Finden Sie eine Basis $B$ des $\mathbb{R}^3$, sodass die Darstellungsmatrix
 $A_{P_U;B,B}$ der Projektion $P_U$ auf
 $U = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ |\ 3x-2y+z = 0 \}$ die Gestalt $E^{(r)}$ f"ur
 ein $r\in\mathbb{N}_0$ hat.

 Mu{\ss} eine solche Basis $B$ immer existieren?

\item
 Geben Sie f"ur die kanonische Basis $E$ des $\mathbb{R}^3$ und f"ur $B$ aus
 (a) die Basistransformationsmatrix $A^E_B$ sowie $A_{P_U;E,E}$ an.
\end{enumerate}


\item
 Ist die Spiegelung $s$ der Punkte des $\R^2$ an der Geraden $g: 3x-y = 5$
 eine affine Abbildung? Falls ja, geben Sie die Funktion in der Form
 $s(x) := A\cdot x+c$ an.


\end{enumerate}     



\end{document}




