\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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%\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
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\bibliographystyle{plain}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\begin{large}
{\bf \"Ubungen zu \\Lineare Algebra und Analytische Geometrie II \\
\vspace{0.1cm}
2. {\"U}bungsblatt, f{\"u}r den 14.~M"arz 2005}
\end{large}
\end{center}
\vspace{0.3cm}

 {\bf Lineare Abbildungen:}

\begin{enumerate}
\item \"Uberpr\"ufen Sie, ob folgende Abbildungen linear auf den jeweiligen
      Vektorr\"aumen sind:
\begin{enumerate}
\item $f:\ _\R\R^3 \rightarrow\ _\R\R^3,\ (x,y,z) \mapsto (x-2y+3z,x+2z,2y+z)$;
\item $g:\ _KK^\N \rightarrow\ _KK^\N,\ (a_1,a_2,a_3,\ldots) \mapsto (a_2,a_3,a_4,\ldots)$;
\item F\"ur eine Basis $B$ von $_KK^n$, sei
 $h:\ _KK^n \rightarrow\ _KK^n, v \mapsto (v)_B$; \\
 (Dabei ist $(v)_B$ das Koordinatentupel von $v$ bzgl. $B$.)

\item $d:\ _\R C_1[0,1] \rightarrow\ _\R C[0,1],\ f \mapsto f'$. \\
 ($_\R C_1[0,1]$ ist der Vektorraum der einmal stetig differenzierbaren
 Funktionen \"uber $\R$)
\end{enumerate}     

\item
 Bestimmen Sie f\"ur die Homomorphismen aus 1. jeweils Kern und Image.
 Handelt es sich um Mono-, Epi-, oder Isomorphismen?
 Was sagt der Homomorphiesatz \"uber die Dimension von Kern und Image aus?

\item
 Geben Sie, falls m\"oglich, Isomorphismen zwischen den folgenden Paaren
 von Vektorr\"aumen $V, W$ an: \\
 (Hinweis: Bestimmen Sie Basen der Vektorr\"aume und verwenden Sie Satz 26.13 
  des Skriptums.)
\begin{enumerate}
\item $V = {_\R\R^2},       W = {_\R\C}$;
\item $V = {_\Q P_3(\Q)},   W = {_\Q\Q^3}$;
\item ${_\R V} := \{(x,y,z)\in\R^3\ |\ x-2y+3z = 0\}, W = {_\R\R^2}$;
\item $V = {_KK^n_m},       W = {_KK^{nm}}$.
\end{enumerate}     
   
\item
 Gibt es Automorphismen auf $_\R\R^2$, 
 die $(1,2)$ auf $(0,1)$ und $(0,1)$ auf $(1,0)$ abbilden.
 Wenn ja, wieviele?

\item
 Zeigen Sie: \\
 Seien $V,W$ endlichdimensionale Vektorr\"aume \"uber $K$ mit
 $\dim_K(V) = \dim_K(W)$, und sei $h:V\rightarrow W$ ein Monomorphismus. 
 Dann ist $h$ ein Isomorphismus.
 
 Gilt die Aussage auch ohne die Voraussetzung, dass $V$ und $W$ endliche
 Dimension haben?

\item
 Sei $h\in\Hom({_KV},{_KV})$ mit der Eigenschaft, dass $h\circ h = h$.
 Ein solches $h$ hei{\ss}t \emph{idempotent}.
 Zeigen Sie $V = \Ker h \dotplus \Im h$.
  
\item
 Sei $V = {_\R \R^3}$ und $f_1, f_2, f_3\in V^*$ so, dass
 \[ f_1((x,y,z)) = y+z,\hspace{1em} f_2((x,y,z)) = x+z,\hspace{1em} f_3((x,y,z)) = x+y \]
 Zeigen Sie, dass $F = (f_1, f_2, f_3)$ eine Basis von $V^*$ ist und geben Sie
 eine Basis von $V$ an, f"ur die $F$ die duale Basis ist. 

\item
 Zeigen Sie Lemma 28.21 der Vorlesung: \\
 Ein Vektor $v\in V$ ist genau dann der Nullvektor, wenn f"ur alle
 $\varphi\in V^*$ die Gleichung $\varphi(v) = 0$ gilt.

\end{enumerate}     



\end{document}





