\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}

\newcommand{\id}{\operatorname{id}}


\bibliographystyle{plain}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\begin{large}
{\bf \"Ubungen zu \\Lineare Algebra und Analytische Geometrie II \\
\vspace{0.1cm}
1. {\"U}bungsblatt, f{\"u}r den 7.~M"arz 2005}
\end{large}
\end{center}
\vspace{0.3cm}

\begin{enumerate}
\item Bestimmen Sie --- sofern m"oglich --- die Inversen der folgenden Matrizen. "Uberpr"ufen Sie Ihre Resultate mit Mathematica.
    \[ 
  \begin{pmatrix}
    1 & 1 & 3 \\
    3 & 0 & 0 \\
    2 & 1 & 2 \\ 
  \end{pmatrix}
    \in (\mathbb{R})_3^3, 
    \quad 
    \begin{pmatrix}
    1 & 1 & 3 \\
    3 & 0 & 0 \\
    2 & 1 & 2 \\ 
  \end{pmatrix}
    \in (\mathbb{Z}_3)_3^3,
    \quad 
    \begin{pmatrix}
    1 & 1 & 3 \\
    3 & 0 & 0 \\
    2 & 1 & 2 \\ 
  \end{pmatrix}
    \in (\mathbb{Z}_5)_3^3.
       \]

\item Sei $A\cdot x=b$ ein lineares Gleichungssystem mit 
\[
A=
  \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 & 4 \\
    1 & 0 & 1 & 0 \\
    1 & 1 & 0 & 1 \\
    2 & 1 & 1 & a\\ 
  \end{pmatrix}
\in \mathbb{R}_4^4 \quad \mbox{ und } \quad 
b=
    \begin{pmatrix} 
    1\\ 
    1 \\ 
    1 \\ 
    c\\
    \end{pmatrix}
\in \mathbb{R}_4.
\]
    \begin{enumerate}
    \item Bestimmen Sie den Rang von $A$ und $(A,b)_{matrix}$.
    \item F"ur welche $a,c\in \mathbb{R}$ besitzt das Gleichungssystem keine, genau eine bzw. unendlich viele L"osungen?
     \end{enumerate}

\item (Fortsetzung von Beispiel 2) Bestimmen Sie den Nullraum von $A$ sowie die L"osungsmenge des Gleichungssystems f"ur $a=1$ und $b=2$.


\item Gegeben sei die Matrix $A\in(\mathbb{Z}_5)_3^4$ mit
\[
A=
  \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 1 & 2 \\
    0 & 2 & 1 & 1\\
    1 & 2 & 3 & 4\\ 
  \end{pmatrix}.
\]
Bestimmen Sie den Rang $r$ der Matrix und geben Sie regul"are Matrizen $B\in(\mathbb{Z}_5)_3^3$ und $C\in(\mathbb{Z}_5)_4^4$ an, so dass $B\cdot A\cdot C= E^{(r)}$. "Uberpr"ufen Sie Ihr Ergebnis mit Mathematica. 


\item Wie {gro\ss}  ist die maximale Anzahl an Einsern in einer Matrix aus $(\mathbb{Z}_2)_n^n$, so dass die Matrix noch regul\"ar ist?

\item "Uberpr"ufen Sie mittel Berechnung des Ranges einer Matrix, ob die vier Vektoren 
    \begin{enumerate}
    \item $(1,2,2,2),(2,1,2,2),(2,2,1,2),(2,2,2,1) \in \mathbb{R}^4$ bzw.
    \item $(1,1,2,2),(2,1,1,2),(2,2,1,1),(1,2,2,1) \in \mathbb{R}^4$
    \end{enumerate}
linear unabh"angig sind und "uberpr"ufen Sie Ihr Ergebnis mit Mathematica.
 
\item "Aquivalente Matrizen: Zeigen oder widerlegen Sie f"ur regul"are quadratische Matrizen $A\sim B\Rightarrow A^t\sim B^t$.

\end{enumerate}     


\end{document}




