Gleichungssyteme

Substitution

2x-y=3  (I)

x+2y=4  (II)

----------

x=4-2y  (aus (II))

einsetzen in (I)

2(4-2y)-y=3

5=5y

y=1

x=4-2*1=2

L={(2,1)}

eine Lösung, nicht zwei !!!

Elimination

* Addieren / Subtrahieren des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen

* Vertauschen von Zeilen erlaubt

* Weglassen der Variablen erlaubt, um Zeit zu sparen

* Umformen des Systems auf Diagonalform, mit lauter Einsern in der Diagonale

zum Beispiel:

({{2, 1, -1, 3, (I)}, {1, -1, 0, 5, (II)}, {0, 1, 1, -1, (III)}})

wird zu:

({{1, 0, 0, 3, (I)}, {0, 1, 0, -2, (II)}, {0, 0, 1, 1, (III)}})

Hier sind die Lösungen direkt abzulesen (x=3, y=-2, z=1)

Bsp 1

(noch einmal ohne Weglassen der Variablen)

2x-y=3  (I)

x+2y=4  (II)

--------------

2x-y=  3   (I)

-5y =-5 (I)-2(II)

---------------

2x-y=  3   (I)

y =1  :(-5)

-------------------

x    -y/2=  3/2   (I)  *1/2

y =1

-------------------

x    -y/2=  3/2   (I)

y =1                (II)

-------------------

x         = 2               (I)+1/2(II)

y =1                (II)

-------------------

L={(2,1)} ... eindeutig lösbar, eine Lösung

Bsp 2

2x+y−z=3
x−y=5
y+z=−1

-----------------------

({{2, 1, -1, 3, (I), \[Placeholder]}, {1, -1, 0, 5, (II), \[Placeholder]}, {0, 1, 1, -1, (III), \[Placeholder]}})

-----------------------

({{2, 1, -1, 3, (I), \[Placeholder]}, {0, 3, -1, -7, (II), I-2II}, {0, 1, 1, -1, (III), passt schon}})

-----------------------

Methode I (keine Brüche, größere Zahlen)

({{2, 1, -1, 3, (I), \[Placeholder]}, {0, 3, -1, -7, (II), \[Placeholder]}, {0, 0, -4, -4, (III), II-3III}})

-----------------------

({{6, 0, -2, 16, (I), 3I-II}, {0, 3, -1, -7, (II), \[Placeholder]}, {0, 0, 1, 1, (III), \[Placeholder]}})

-----------------------

({{6, 0, 0, 18, (I), I+2III}, {0, 3, 0, -6, (II), II+III}, {0, 0, 1, 1, (III), \[Placeholder]}})

-----------------------

({{1, 0, 0, 3, (I), :6}, {0, 1, 0, -2, (II), :3}, {0, 0, 1, 1, (III), \[Placeholder]}})

-----------------------

L={   (3,-2,1)    } ... eindeutig lösbar, eine Lösung

Bsp 3

y-x+z=0
-x+2z=2
-z+y=3

({{-1, 1, 1, 0, (I), \[Placeholder]}, {-1, 0, 2, 2, (II), \[Placeholder]}, {0, 1, -1, 3, (III), \[Placeholder]}})

--------------------

({{-1, 1, 1, 0, (I), \[Placeholder]}, {0, 1, -1, -2, (II), I-II}, {0, 1, -1, 3, (III), \[Placeholder]}})

----------------------

({{-1, 1, 1, 0, (I), \[Placeholder]}, {0, 1, -1, -2, (II), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, -5, (III), II-III}})

----------------------

0z=-5

L={}

0......0    c≠0

keine Lösung, immer wenn so eine Zeile auftritt, egal zu welchem Zeitpunkt während des Algorithmus

Bsp 4

-z+y=3
y-x+z=0
x-2z=3

Zeilen vertauschen

y-x+z=0
-z+y=3
x-2z=3

({{-1, 1, 1, 0, (I), \[Placeholder]}, {0, 1, -1, 3, (II), \[Placeholder]}, {1, 0, -2, 3, (III), \[Placeholder]}})

-------------------

({{-1, 1, 1, 0, (I), \[Placeholder]}, {0, 1, -1, 3, (II), \[Placeholder]}, {0, 1, -1, 3, (III), I+III}})

-------------------

({{-1, 1, 1, 0, (I), \[Placeholder]}, {0, 1, -1, 3, (II), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, 0, (III), II-III}})

-------------------

0z=0

immer, wenn eine Zeile lauter Nuller enthält, ist der entsprechende Parameter frei wählbar.

hier: Zeile mit der Variablen an der dritten Stelle, also:

z frei wählbar, beliebig aus ℝ

wir setzen also etwa z=λ und rechnen normal weiter, Richtung Diagonalform:

({{-1, 1, 1, 0, (I), \[Placeholder]}, {0, 1, -1, 3, (II), \[Placeholder]}, {0, 0, 1, λ, (III), \[Placeholder]}})

-------------------

({{-1, 0, 2, -3, (I), I-II}, {0, 1, -1, 3, (II), \[Placeholder]}, {0, 0, 1, λ, (III), \[Placeholder]}})

-------------------

({{-1, 0, 0, -3-2λ, (I), I-2III}, {0, 1, 0, 3+λ, (II), II+III}, {0, 0, 1, λ, (III), \[Placeholder]}})

-------------------

({{1, 0, 0, 3+2λ, (I), *(-1)}, {0, 1, 0, 3+λ, (II), \[Placeholder]}, {0, 0, 1, λ, (III), \[Placeholder]}})

-------------------

x=3+2λ

y=3+1λ

z=0+1λ

L={(({{3}, {3}, {0}}))+λ(({{2}, {1}, {1}}))|λ ϵ ℝ}

... unendlich viele Lösungen, ein frei wählbarer Parameter

Bsp 5

x-y+z=0

2x-2y+2z=0

-x+y-z=0

------------------

({{1, -1, 1, 0, (I), \[Placeholder]}, {2, -2, 2, 0, (II), \[Placeholder]}, {-1, 1, -1, 0, (III), \[Placeholder]}})

------------------

({{1, -1, 1, 0, (I), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, 0, (II), II-2I}, {0, 0, 0, 0, (III), I+III}})

0z=0, z=λ

0y=0, y=μ

-------------------

({{1, -1, 1, 0, (I), \[Placeholder]}, {0, 1, 0, μ, (II), \[Placeholder]}, {0, 0, 1, λ, (III), \[Placeholder]}})

-------------------

({{1, 0, 1, μ, (I), I+II}, {0, 1, 0, μ, (II), \[Placeholder]}, {0, 0, 1, λ, (III), \[Placeholder]}})

-------------------

({{1, 0, 0, μ-λ, (I), I-III}, {0, 1, 0, μ, (II), \[Placeholder]}, {0, 0, 1, λ, (III), \[Placeholder]}})

-------------------

x=0-1λ+1μ

y=0+0λ+1μ

z=0+1λ+0μ

also:

L={(({{0}, {0}, {0}}))+λ(({{-1}, {0}, {1}}))+μ(({{1}, {1}, {0}}))|λ,μ ϵ ℝ}={λ(({{-1}, {0}, {1}}))+μ(({{1}, {1}, {0}}))|λ,μ ϵ ℝ}

Bsp 6

-a+3b+c-2d=-3
2b-d+e=-1
a+b-c=1
-a+b+c-d-e=-2

({{-1, 3, 1, -2, 0, -3, (I), \[Placeholder]}, {0, 2, 0, -1, 1, -1, (II), \[Placeholder]}, {1, 1, -1, 0, 0, 1, (III), \[Placeholder]}, {-1, 1, 1, -1, -1, -2, (IV), \[Placeholder]}})

({{-1, 3, 1, -2, 0, -3, (I), \[Placeholder]}, {0, 2, 0, -1, 1, -1, (II), passt schon}, {0, 4, 0, -2, 0, -2, (III), III+I}, {0, -2, 0, 1, -1, 1, (IV), IV-I}})

({{-1, 3, 1, -2, 0, -3, (I), \[Placeholder]}, {0, 2, 0, -1, 1, -1, (II), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, 0, -2, 0, (III), III-2II}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, (IV), IV+II}})

Was ist passiert? Wir können jetzt c nicht mehr berechnen.

An der entsprechenden Stelle in der Matrix steht kein Wert mehr:

({{-1, 3, 1, -2, 0, -3, (I), \[Placeholder]}, {0, 2, 0, -1, 1, -1, (II), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, 0, -2, 0, (III), III-2II}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, (IV), IV+II}})

Da es für c also keine "Bedingungen" gibt, ist c frei wählbar und wir

ergänzen c=λ

({{-1, 3, 1, -2, 0, -3, (I), \[Placeholder]}, {0, 2, 0, -1, 1, -1, (II), \[Placeholder]}, {0, 0, 1, 0, 0, λ, (III), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, 0, -2, 0, (IV), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, (V), \[Placeholder]}})

auch d ist nicht mehr in der Diagonale, wir vertauschen Zeilen (IV) und (V)

({{-1, 3, 1, -2, 0, -3, (I), \[Placeholder]}, {0, 2, 0, -1, 1, -1, (II), \[Placeholder]}, {0, 0, 1, 0, 0, λ, (III), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, (IV), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, 0, -2, 0, (V), \[Placeholder]}})

das bedeutet, dass auch d frei wählbar ist:

({{-1, 3, 1, -2, 0, -3, (I), \[Placeholder]}, {0, 2, 0, -1, 1, -1, (II), \[Placeholder]}, {0, 0, 1, 0, 0, λ, (III), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, 1, 0, μ, (IV), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, 0, -2, 0, (V), \[Placeholder]}})

({{-1, 3, 1, -2, 0, -3, (I), \[Placeholder]}, {0, 2, 0, -1, 1, -1, (II), \[Placeholder]}, {0, 0, 1, 0, 0, λ, (III), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, 1, 0, μ, (IV), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, 0, 1, 0, (V), *(-(1/2))}})

({{-1, 3, 1, -2, 0, -3, (I), \[Placeholder]}, {0, 2, 0, -1, 0, -1, (II), II-V}, {0, 0, 1, 0, 0, λ, (III), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, 1, 0, μ, (IV), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, 0, 1, 0, (V), \[Placeholder]}})

({{-1, 3, 1, -2, 0, -3, (I), \[Placeholder]}, {0, 2, 0, 0, 0, -1+μ, (II), II+IV}, {0, 0, 1, 0, 0, λ, (III), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, 1, 0, μ, (IV), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, 0, 1, 0, (V), \[Placeholder]}})

({{-1, 3, 1, -2, 0, -3, (I), \[Placeholder]}, {0, 2, 0, 0, 0, -1+μ, (II), II+IV}, {0, 0, 1, 0, 0, λ, (III), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, 1, 0, μ, (IV), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, 0, 1, 0, (V), \[Placeholder]}})

({{-1, 3, 1, -2, 0, -3, (I), \[Placeholder]}, {0, 1, 0, 0, 0, -(1/2)+(μ/2), (II), *(1/2)}, {0, 0, 1, 0, 0, λ, (III), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, 1, 0, μ, (IV), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, 0, 1, 0, (V), \[Placeholder]}})

({{-1, 3, 1, 0, 0, -3+2μ, (I), I+2IV}, {0, 1, 0, 0, 0, -(1/2)+(μ/2), (II), \[Placeholder]}, {0, 0, 1, 0, 0, λ, (III), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, 1, 0, μ, (IV), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, 0, 1, 0, (V), \[Placeholder]}})

({{-1, 3, 0, 0, 0, -3-λ+2μ, (I), I-III}, {0, 1, 0, 0, 0, -(1/2)+(μ/2), (II), \[Placeholder]}, {0, 0, 1, 0, 0, λ, (III), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, 1, 0, μ, (IV), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, 0, 1, 0, (V), \[Placeholder]}})

({{-1, 0, 0, 0, 0, -(3/2)-λ+(1/2)μ, (I), I-3II}, {0, 1, 0, 0, 0, -(1/2)+(μ/2), (II), \[Placeholder]}, {0, 0, 1, 0, 0, λ, (III), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, 1, 0, μ, (IV), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, 0, 1, 0, (V), \[Placeholder]}})

({{1, 0, 0, 0, 0, (3/2)+λ-(1/2)μ, (I), *(-1)}, {0, 1, 0, 0, 0, -(1/2)+(μ/2), (II), \[Placeholder]}, {0, 0, 1, 0, 0, λ, (III), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, 1, 0, μ, (IV), \[Placeholder]}, {0, 0, 0, 0, 1, 0, (V), \[Placeholder]}})

Somit ist die Lösung gegeben durch:

L={(({{(3/2)}, {-(1/2)}, {0}, {0}, {0}}))+λ(({{1}, {0}, {1}, {0}, {0}}))+μ(({{-(1/2)}, {(1/2)}, {0}, {1}, {0}}))|λ,μ ϵ ℝ}

... unendlich viele Lösungen, zwei frei wählbare Parameter

Gleichungssysteme mit Mathematica lösen

für folgendes Beispiel:

2x+y−z=3
2x+2y-2z=6
-2x-y+z=−3

(1) (nicht notwendig!!!) Zwischenergebnis : Ausgabe der Dreiecksmatrix :

komplettes System inkl. rechter Seite eingeben:

A=(({{2, 1, -1, 3}, {4, 2, -2, 6}, {-2, -1, 1, -3}}));

RowReduce[A]//MatrixForm

(2) Endergebnis :
  Koeffizientenmatrix eingeben und rechte Seite als Vektor eingeben

A=(({{2, 1, -1}, {4, 2, -2}, {-2, -1, 1}}));b=(({{3}, {6}, {-3}}));

LinearSolve[A,b]

NullSpace[A]

(Interpretation siehe unten)

oder dasselbe in schöner formatierter Ausgabe:

LinearSolve[A,b]//MatrixForm

MatrixForm[NullSpace[A],TableDirections->{Row,Column}]

dies bedeutet, dass die Lösungsmenge gegeben ist durch:

L={(({{(3/2)}, {0}, {0}}))+λ(({{1}, {0}, {2}}))+μ(({{-1}, {2}, {0}}))}

Schön formuliert:

"LinearSolve" liefert eine "spezielle Lösung", "NullSpace" liefert die Vektoren bei den frei wählbaren Parametern.

Weitere Fälle:

Bei einer eindeutigen Lösung liefert Nullspace die leere Menge und LinearSolve eben diese Lösung.

A=(({{2, 1}, {4, 3}}));b=(({{3}, {1}}));

LinearSolve[A,b]

NullSpace[A]

Bei einem System ohne Lösung liefert LinearSolve eine Fehlermeldung:

A=(({{2, 1}, {4, 2}}));b=(({{3}, {3}}));

LinearSolve[A,b]

Bsp 6 von oben mit Mathematica:

A=(({{-1, 3, 1, -2, 0}, {0, 2, 0, -1, 1}, {1, 1, -1, 0, 0}, {-1, 1, 1, -1, -1}}));b=(({{-3}, {-1}, {1}, {-2}}));

LinearSolve[A,b]//MatrixForm

MatrixForm[NullSpace[A],TableDirections->{Row,Column}]

(Vektoren sind hier nur vertauscht, einer mit 2 multipliziert)