\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[german]{babel}
\usepackage{amsmath,a4}
\usepackage{amssymb}

\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}


\bibliographystyle{plain}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\begin{large}
{\bf \"Ubungen zu Lineare Algebra und Analytische Geometrie I \\
\vspace{0.1cm}
11. {\"U}bungsblatt f{\"u}r den 24.~J\"anner 2005}
\end{large}
\end{center}
\vspace{0.3cm}

\begin{enumerate}
\item
 Sei $B = ( (1,2,0), (3,4,-1), (0,-2,3) )$ eine Basis von $V = \R^3$ \"uber
 $\R$.
\begin{enumerate}
\item
 Es seien $u_B = (1,2,3), v_B = (2,-1,2)$.
 Bestimmen Sie die Koordinaten von $u,v$ bez\"uglich der kanonische Basis $E$.

\item
 Bestimmen Sie die Koordinaten der Vektoren $a = (0,-2,3)$, $b = (2,-2,-1)$
 und $c = (1,0,0)$ bez\"uglich $B$.
\end{enumerate}     
 
\item
 Seien $b_1,b_2,b_3,f\in P_2(\R)$ definiert durch
 $b_1(x) := 1, b_2(x) := 1+x, b_3(x) := 1+x+x^2$ und $f(x) := x+2x^2$
 f\"ur $x\in\R$.
 Bestimmen Sie die Koordinaten von $f$ bez\"uglich $(b_1,b_2,b_3)$.

\item 
 Seien $V = \R^4$, $U = \{ (w,x,y,z) \in V\ |\ w+2y+3z = 0, -w+x+2y-z = 0\}$
 und
 $W = \{ (w,x,y,z) \in V\ |\ 3w - x + y + 2z = 0, x + 3y + 2z = 0 \}$.
\begin{enumerate}
\item
 Geben Sie eine Basis f\"ur $U+W$ an. Ist die Summe direkt?

\item
 Geben Sie die Dimensionen folgender Vektorr\"aume \"uber $\R$ an:
 $U, W$, $U+W, U\cap W$ (Vergleichen Sie mit Satz 21.9). 
\end{enumerate}     

\item Seien $U,V$ wie in Aufgabe 3.
\begin{enumerate}
\item
 Bestimmen Sie einen Komplement\"arraum von $U$ in $V$.

\item
 Geben Sie ein Repr\"asentantensystem f\"ur den Faktorraum $V/U$ an.

\item
 Was ist die Dimension von $V/U$ \"uber $\R$?
\end{enumerate}

\item
 Gelten folgende Aussagen f\"ur alle Matrizen $A,B$ \"uber beliebigen K"orpern?
\begin{enumerate}
\item
 $A^2 = E$  (Einheitsmatrix) $\Rightarrow A$ ist Diagonalmatrix;
\item
 $A^2 = {\bf 0}\Rightarrow A= {\bf 0}$ (Nullmatrix);
\item
 $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$;
\item
 $((A^{-1})^t)^{-1} = A^t$.
\end{enumerate}

\item
 Sei $K$ ein K\"orper, $n\in\N$. 
 Bestimmen Sie $\{ C\in K_n^n\ |\ \forall A\in K_n^n:\ AC = CA\}$.


\end{enumerate}


\end{document}



