\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}

\newcommand{\id}{\operatorname{id}}


\bibliographystyle{plain}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\begin{large}
{\bf \"Ubungen zu Lineare Algebra und Analytische Geometrie I \\
\vspace{0.1cm}
9. {\"U}bungsblatt, f{\"u}r den 10.~J"anner 2005}
\end{large}
\end{center}
\vspace{0.3cm}

\begin{enumerate}
\item 
    Zeigen Sie: $|\{A\subseteq \mathbb{N}\mid A \mbox{ ist endlich} \}|=|\mathbb{N}|$.
    
\item Zeigen Sie mit Hilfe des Satz von Schr"oder-Bernstein, dass f"ur beliebige Mengen $A,B,C$ gilt:
\[
    (|A|=|C|\wedge A\subseteq B\subseteq C)\Rightarrow |A|=|B|.
\]
    
\item  Sei $(\Z_7)_2^2$ die Menge aller $2\times 2$ Matrizen $\begin{pmatrix}
            a & b \\
            c & d 
        \end{pmatrix}$,
        deren Elemente aus $\Z_7$ sind. Auf dieser Menge sind die Operationen       
\[
        \begin{pmatrix}
            a & b \\
            c & d 
        \end{pmatrix}
        + 
        \begin{pmatrix}
            s & t \\
            u & v 
        \end{pmatrix}
 :=  
        \begin{pmatrix}
            a \oplus s &  b \oplus t \\
            c \oplus u&  d \oplus v 
        \end{pmatrix}
\quad \mbox{ und }\quad
\lambda \cdot 
        \begin{pmatrix}
            a & b \\
            c & d 
        \end{pmatrix}
        :=  \begin{pmatrix}
            \lambda \odot a & \lambda \odot b \\
            \lambda \odot c & \lambda \odot d 
        \end{pmatrix}
\]
definiert, wobei $\lambda\in\Z_7$. Zeigen Sie, dass $((\Z_7)^2_2,+)$  ein Vektorraum "uber dem K"orper $(\Z_7,\oplus,\odot) $ ist.  

\item 
    Ist $\{a+\sqrt{3}b\mid a,b\in\Q\}$ ein Vektorraum "uber $\Q$? Ein Vektorraum "uber $\R$? 

\item Sei $V$ ein Vektorraum "uber $K$. Beweisen oder widerlegen Sie:
    \begin{enumerate}
    \item $\forall v\in V, \forall \lambda \in K: \lambda v=\mathbf{0}\Leftrightarrow (\lambda=0\vee v=\mathbf{0})$,
    \item $\forall \lambda, \mu \in K: \forall v\in V: (\lambda v=\mu v \Rightarrow \lambda=\mu)$,
    \item $\forall \lambda\in K: \forall v,w\in V: (\lambda v=\lambda w \Rightarrow v=w$.
    \end{enumerate}
    
\item Sei $M(\R)$ die Menge aller Funktionen von $\R$ nach $\R$. Die Summe zweier Funktionen $f,g\in M(\R)$ sei definiert als 
    \[ 
    f+g: \R\rightarrow\R, x\mapsto f(x)+g(x), 
    \]
    \begin{enumerate}
    \item Zeigen Sie, dass $(M(\mathbb{R}),+)$ ein Vektorraum "uber $\mathbb{R}$ ist, wobei $(\lambda,f)\mapsto (\lambda\cdot f)$ f"ur alle $\lambda\in \mathbb{R}$ und $f\in M(\mathbb{R})$ definiert ist durch 

\[
(\lambda \cdot f)(x):=\lambda \cdot f(x) \quad \forall x\in\R.
\]
    \item Eine Funktion $f:\R\rightarrow \R$ hei"st gerade, wenn f"ur alle $x\in\R$ gilt: $f(x)=f(-x)$. Sie hei"st ungerade, wenn $-f(x)=f(-x)$ f"ur alle $x\in \R$ ist. Weisen Sie nach, dass die Menge der geraden bzw. ungeraden Funktionen einen Unterraum von $M(\mathbb{R})$  bildet.
    \end{enumerate}
\item Sei $K$ der K"orper $(\Z_5,\oplus,\odot)$, $V=K^3$,  $U_1=\{(x,y,z)\mid x+z=0\}$ und $U_2=\{(x,y,z)\mid 2x-y+2z=0\}$. \begin{enumerate}
\item Bestimmen Sie $U_1\cap U_2$. 
\item Wieviele Elemente haben die Vektorr"aume $V$, $U_1$, $U_2$ und $V/U_1$ "uber $K$? 
\item Geben Sie die Elemente von $V/U_1$ explizit an.
\end{enumerate}

\item Gegeben seien $C[0,1]$ und der Unterraum \[U:=\{f\in C[0,1]\mid f(0)=f(1)\}.\] Bestimmen Sie den Faktorraum $C[0,1]/_U$ und ein entsprechendes Repr"asentantensystem.

\end{enumerate}     


\end{document}




