\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[german]{babel}
\usepackage{amsmath,a4}
\usepackage{amssymb}

\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}


\bibliographystyle{plain}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\begin{large}
{\bf \"Ubungen zu Lineare Algebra und Analytische Geometrie I \\
\vspace{0.1cm}
8. {\"U}bungsblatt f{\"u}r den 13.~Dezember 2004}
\end{large}
\end{center}
\vspace{0.3cm}

\begin{enumerate}
\item
 Es sei die Menge $A_1$ mit $\preceq_1$ und $A_1$ mit $\preceq_2$ geordnet.
 Zeigen Sie, die Transitivit\"at der lexikographischen Ordnung auf
 $A_1\times A_2$.

\item 
 Zeigen Sie, dass der Gruppenkern eines Monoids eine Gruppe bildet (siehe
 13.9 b) im Skriptum).

\item
 Sei $A$ eine Menge.
 Zeigen Sie, dass die Menge aller Relationen $P(A^2)$ bez\"uglich des
 Relationenprodukts $\diamond$ ein Monoid bildet.
 Bestimmen Sie neutrales Element und Gruppenkern von $(P(A^2),\diamond)$.

\item
 Bildet $(\Z,+')$ mit $x+'y := x+y-3$ f\"ur $x,y\in\Z$ eine Gruppe?

\item
 F\"ur $x,y\in \R$, definieren wir $x\sim y :\Leftrightarrow x-y\in\Z$.
 Ist die Relation $\sim$ mit den Operationen $+$ und $\cdot$ auf $\R$
 vertr\"aglich?
 Wenn ja, dann bilden Sie die Faktorstrukturen.

\item
 Sei $M(\Z)$ die Menge aller Funktionen von $\Z$ nach $\Z$. 
 F\"ur zwei Funktionen $f,g \in M(\Z)$ definieren wir die Summe als
\[ f+g: \Z\rightarrow\Z, x\mapsto f(x)+g(x), \]
 und das Produkt als
\[ f\cdot g: \Z\rightarrow\Z, x\mapsto f(x)\cdot g(x). \]
\begin{enumerate}
\item
 Zeigen Sie: $(M(\Z),+,\cdot)$ ist ein Ring.
\item 
 Ist $(M(\Z),+,\cdot)$ ein kommutativer Ring, ein Ring mit Einselement,
 ein K\"orper?
 Geben Sie - falls existent - den Gruppenkern von $(M(\Z),\cdot)$ an.
\item
 Sei $P(\Z)$ die Menge aller Polynomfunktionen auf $\Z$.
 Ist $P(\Z)$ ein Unterring von $(M(\Z),+,\cdot)$?
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Geben Sie drei Unterringe von $(\Z,+,\cdot)$ an.
\item Geben Sie drei Unterk\"orper von $(\R,+,\cdot)$ an.
\item[*(c)] Geben Sie ein Beispiel f\"ur einen Ring, der nicht kommutativ ist.
\end{enumerate}

\item
 \"Uberpr\"ufen Sie, ob folgende Mengen $A$ und $B$ gleichm\"achtig sind.
 Geben Sie gegebenenfalls eine bijektive Abbildung an.
\begin{enumerate}
\item $A = \N$ und $B = 7\N := \{7n\ |\ n\in\N \}$;
\item $A = \N$ und $B = \N\setminus 7\N$;
\item $A = \N\times [0,1[$ und $B = \R$;
\item $A = [0,1]$ und $B = [0,1] \times [0,1]$.
\end{enumerate}     

%\item
% Zeigen Sie $|\{A \subseteq \N\ |\ A$ ist endlich $\}| = |\N|$.

\end{enumerate}     


\end{document}



