\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
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\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\begin{large}
{\bf \"Ubungen zu Lineare Algebra und Analytische Geometrie I \\
\vspace{0.1cm}
6. {\"U}bungsblatt, f{\"u}r den 29.~November 2004}
\end{large}
\end{center}
\vspace{0.3cm}

\begin{enumerate}
\item 
    Sei $\approx$ eine reflexive Relation auf einer Menge $A$. Zeigen Sie, dass $\approx$ genau dann symmetrisch und transitiv ist, wenn aus $a \approx b$ und $a \approx c$ stets $b \approx c$ f"ur beliebige $a,b,c$ aus $A$ folgt. 

\item Seien $R, S$ Relationen auf einer Menge $A$. Zeigen oder widerlegen Sie:
    \begin{enumerate}
    \item Ist $R$ symmetrisch, so ist auch $R^{-1}$ symmetrisch.
    \item Ist $R$ transitiv, so ist auch $R^{-1}$ transitiv.
    \item Sind $R$ und $S$ symmetrisch, so ist auch $R\circ S$ symmetrisch.
    \item Sind $R$ und $S$ transitiv, so ist auch $R\circ S$ transitiv.
    \end{enumerate}
    Hinweis: $R\circ S$ bezeichnet die Hintereinanderausf"uhrung der Relationen $R,S$. Sie ist ebenfalls eine Relation auf der Menge $A$ und folgenderma"sen definiert
    \[
    R\circ S=\{(x,y)\mid \exists z \in A: (x,z)\in S \wedge (z,y)\in R\}.
    \]
    
\item Zeigen Sie f"ur eine Funktion $f:A\rightarrow B$:
    \begin{enumerate}
    \item $S\subseteq T\subseteq A \Rightarrow f(S)\subseteq f(T)$
    \item $S, T\subseteq A \Rightarrow f(S\cup T)= f(S)\cup f(T)$
    \item $S, T\subseteq A \Rightarrow f(S\cap T)\subseteq f(S) \cap f(T)$
    \end{enumerate}

\item "Uberpr"ufen Sie, ob folgende Funktionen surjektiv, injektiv oder bijektiv sind. Im Falle von Bijektivit"at geben Sie die inverse Funktion an.
    \begin{enumerate}
    \item $f: M\rightarrow P(M)$, $A\mapsto C_M(A)$ f"ur eine Menge $M$
    \item $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, $x\mapsto (x-1)(x-3)(x+3)$
    \item $h:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}$, $x\mapsto(-1)^x$
    \item $k:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}_n$, $x\mapsto [x]_n$ (siehe auch Skriptum S.69)
    \item $l:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$, $(x,y)\mapsto (x+y,x-y)$
    \end{enumerate}

\item Gesucht sind Funktionen $f:A\rightarrow A$, f"ur die gilt $f\circ f = \id_A$ und $f\neq \id_A$, wobei $A=[0,1]$, $A=\mathbb{Z}$ bzw. $A=\mathbb{Z}_4$ zu untersuchen sind. Geben Sie jeweils mindestens zwei Beispiele an. Wie lauten die entsprechenden inversen Funktionen $f^{-1}$?

\item 
    Zeigen Sie Satz 10.10 b) aus dem Skriptum.
    


\end{enumerate}     


\end{document}




