\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}

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\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\begin{large}
{\bf \"Ubungen zu Lineare Algebra und Analytische Geometrie I \\
\vspace{0.1cm}
3. {\"U}bungsblatt, f{\"u}r den 8.~November 2004}
\end{large}
\end{center}
\vspace{0.3cm}

\begin{enumerate}
\item
    Stellen Sie die Wahrheitstafeln f\"ur folgende Aussageformen auf.
    \begin{itemize}
    \item $x\wedge y\wedge z'$, 
    \item $(x\wedge (x\Rightarrow y))\Rightarrow y$, 
    \item $(x\Rightarrow y) \wedge (y \Rightarrow z))\Rightarrow (x\Rightarrow z)$. 
    \end{itemize}
 
\item \"Uberpr\"ufen Sie die Gleichheit folgender Aussageformen 
    \begin{itemize}
    \item $a\Rightarrow b$ und $ a'\vee b$,
    \item $a\Rightarrow (b\Rightarrow c)$ und $(a\wedge b\wedge c')'$.
    \end{itemize}


\item   Zeigen Sie, dass jede der Aussageformen $x \vee y$, $x \wedge y$, $x\dot{\vee} y$ und $x\Leftrightarrow y$ gleich einer weiteren Aussageform ist, welche nur aus $x$, $y$, $\Rightarrow$ und $'$ zusammengesetzt ist.

\item Beweisen Sie die G\"ultigkeit der De Morgan-Gesetze mit Hilfe aller anderen Gesetze aus Satz 4.8 und 4.9 (nicht durch eine Wahrheitstafel).

   
\item Vereinfachen Sie folgende Aussageformen mittels der Gesetze. Beurteilen Sie, bei welchen es sich um Tautologien oder um Kontradiktionen handelt.
\begin{enumerate}
\item $(a \vee a')\wedge (b \vee c)$
\item $\left((a \wedge b) \vee (a \wedge b')\right) \wedge \left((a' \wedge b) \vee (a' \wedge  b')\right)$
\item $\left(a \wedge (b \vee c') \right)\wedge (a' \vee b \vee c)$
\item $\left((a \vee b) \wedge (a \vee b')\right) \vee \left((a' \vee b) \wedge (a' \vee b')\right)$
\end{enumerate}

\item 
Formulieren Sie folgende Aussagen mit Hilfe von Quantoren. Definieren Sie gegebenenfalls eigene Pr"adikate.
\begin{enumerate}
\item Das Quadrat einer Zahl ist nicht negativ.
\item Wenn eine Zahl zwei Zahlen teilt, dann teilt sie auch deren
Differenz.
\item Jede nat"urliche Zahl hat einen Nachfolger, aber nicht jede
hat eine Vorg"anger.
\end{enumerate}

\item Bestimmen Sie das Gegenteil (die Negation) der obigen Aussagen und vereinfachen Sie sofern m\"oglich.

\item Zeigen Sie:
Die Mittelpunkte der Seiten eines (ebenen) Vierecks sind Eckpunkte eines
Parallelogramms.

\end{enumerate}     


\end{document}




