\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}

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\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\begin{large}
{\bf \"Ubungen zu Lineare Algebra und Analytische Geometrie I \\
\vspace{0.1cm}
2. {\"U}bungsblatt f{\"u}r den 25.~Oktober 2004}
\end{large}
\end{center}
\vspace{0.3cm}

\begin{enumerate}
\item
 Geben Sie eine charakterisierende Eigenschaft f\"ur die Elemente folgender 
 Mengen an: \\
 $A = \{ -3, 0, 3, 6, 9 \}$ \hfill $B = \{ 0, -2, -6, -12, -20 \}$ \hfill $C = [3,4[ \times ]-1,0[$ \\ 
 $D = P(M)$ f\"ur eine Menge $M$ \hfill $E = \emptyset$. 


\item 
 Sei $A = \{1,2,3\}$. Welche der folgende Aussagen sind wahr? \\
 (a) $1 \subseteq A$  \hfill (b) $A\in \{A\}$  \hfill (c) $A \subseteq P(A)$ \\
 (d) $A \in A$ \hfill (e) $\N \subseteq \{\Z\}$ \hfill (f) $\{\emptyset\} \cap \{\{\emptyset\}\} = \emptyset$


\item 
 Seien $A,B,C,U$ Mengen mit $A\subseteq U, B\subseteq U$.
 Zeigen Sie folgende Gleichungen mit Euler-Venn Diagrammen: \\
 (a) $A\cup (B\cap A) = A$ \hfill (b) $C_U(A\cup B) = C_U(A) \cap C_U(B)$ \\
 (c) $A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C)$


\item Bestimmen Sie folgende Mengen: \\
 $A = C_{\Z}(\{x\in \Z\ |\ 3$ teilt $x \})$ \hfill $B = \bigcup_{i=1}^{5} [-i^2,-i[$ \\ $C = \{(x,y)\in\Z^2\ |\ x^2+y^2 = 25 \}$



\item Wieviele Elemente haben die folgenden Mengen? \\
 $A = [0,1]\triangle ]0,1[$ \hfill $B = \{0,1,2\} \times\{3,4,5\ldots,12\} \times \{-3,-2,-1,0,1\}$ \\
 $C = \emptyset$ \hfill $D = \{\{\}\}$ \hfill $E = \{\{\}, 1, \{1\}\}$


\item 
 Zeigen Sie: \\
 (a) $\bigcup_{n\in\mathbb{N}} [\frac{1}{n},n[\ =\ ]0,\infty[$ \hfill (b) $\bigcap_{n\in\mathbb{N}} ]0,\frac{1}{n}[\ =\ \emptyset$.


\item
 Gilt f\"ur alle Mengen $A,B,C$, dass
\[ (A\times B) \times C = A\times (B\times C). \]
 Hinweis: Beweisen Sie die Gleichheit f\"ur alle Mengen oder widerlegen
 Sie sie an Hand eines Gegenbeispiels. 

\item
 Seien $a,x$ Elemente einer Menge $A$; seien $b,y$ Elemente einer Menge $B$. 
 Zeigen Sie mit Definition 3.12 aus dem Skriptum:
\begin{enumerate}
\item $(a,a) = \{\{a\}\}$;
\item Wenn $(x,y) = \{\{a\}\}$, dann gilt $x = y = a$;
\item Wenn $(a,b) = (x,y)$, dann gilt $a = x, b = y$. 
\end{enumerate}
 Hinweis zu (c): Verwenden Sie (a) und (b).

%\item
% Seien $k, n$ nat\"urliche Zahlen, und sei $A = \{1,\ldots,n\}$.
% Wieviele Teilmengen mit $k$ Elementen hat $A$?

\end{enumerate}     

\bibliography{crypt}
\end{document}




