Quiz  #1    27.10.04

Bestimmen Sie die Menge aller Buchstaben im Namen 
"ABRAHAM  A  SANTA  CLARA"

{A, B, R, H, M, S, N, T, C, L}  =  {A, B, C, H, L, M, N, R, S, 
        T}

Kann ein System von 3 Gleichungen in 5 Unbekannten unlösbar sein?

Ja! Zum Beispiel dann, wenn die ersten beiden Gleichungen widersprüchlich sind und die dritte Gleichung Vielfache der ersten beiden Gleichungen ist .

Könnte es sein, daß ein System von 5 Gleichungen in 3 Unbekannten zwei frei wählbare Parameter besitzt?

\(Ja, \ auch\ das\ kann\ sein . \ Und\ zwar\ zum\ Beispiel\ dann, \ 
    wenn\ die\ 2. \ bis\ 5. \ Gleichung\ jeweils\ Vielfache\ der\ ersten\ Gleichung\ \(\(sind\)\(.\)\)\)

quiz  #2    27.10.04

{1,2,3,4,5}⋂{0,2,4,6,8,10} = ?

{2, 4}

{1,2,3,4,5}⋃{0,2,4,6,8,10} = ?

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}

{1,2,3,4,5}Δ{0,2,4,6,8,10} = ?

{0, 1, 3, 5, 6, 8, 10}

quiz  #3    10.11.2004

Normieren Sie den Vektor (3,4,-5)

(1/(Sqrt[50])) (3, 4, -5)

((3,4,-5)×(1,2,-3)).(3,4,-5) = ?

0  (nach 7.9 e)

Welchen Winkel schließen die Vektoren (3,4,-5) und (1,2,3) ein?

cos α = (1/(Sqrt[50])) (1/(Sqrt[14])) . (-4);   dies ergibt α  = 87.8  °

quiz  #4    10.11.04

Formulieren Sie mit logischen Symbolen : 
"In \
jeder zweielementigen Menge reeller Zahlen ist eine der Zahlen \
größer als die andere"

∀ {x, y}  ⊂  ℝ :  
          x ≠ 
              y  \[Implies] (x < y) ∨ (x > 
                  y)

Finden Sie einen Vektor,  
    der auf (0, 1, 2) und (1, 2, 
        3) senkrecht steht.

Cross[{0, 1, 2}, {1, 2, 3}]

Gilt  a   bc teilt,  
    muss a dann b oder c teilen? ?

Nein :  8 teilt 6×4,  aber keinen der Faktoren

Extra - Session:

Q[a_] := (a^2)

Plot[Q[a], {a, -3, 3}]

F[n_] := (2^((2^n))) + 1

F[10]

PrimeQ[F[10]] // Timing

F[15]

PrimeQ[F[15]] // Timing

PrimeQ[F[14]] // Timing

PrimeQ[F[13]] // Timing

PrimeQ[F[12]] // Timing

Quiz  #5    19.11.04

Was ist falsch am folgenden Beweis?
Beh.: Jede Funktion ist surjektiv.
Bew.: Sei f: A->B. Dann ist f = {(a,f(a)): aϵA}. Also ist f:A->B dassselbe wie
f: A->f(A). Somit ist f surjektiv.

Nichts ist falsc h! 
      Jede Funktion ist surjektiv.

Finden Sie natürliche Zahlen x und y mit 6x+4y=28

6.(1)+4.(-1)=2, daher 6.(14)+4.(-14)=28. Weitere Lösungen:
x=14+(4/2)t, y=-14-(6/2)t. Natürliche Lösungen bei -7≤t≤-5, also zB (t=-6):
x=2 und y=4.

Ist die Relation R auf 𝒫(ℕ)×ℕ  mit A R x, falls x das kleinste Element von A ist, funktional?

\(Beinahe . \ 
        Aber\ die\ leere\ Menge\ hat\ keinen\ \*"""Partner \(\*""" . \)\)

Quiz  #6    24.11.04

Seien f: ℕ->ℕ×ℕ, x->(x,x) und g:ℕ×ℕ->ℕ, (x,y)->(x^y). Berechnen Sie gof   und fog.

gof:ℕ->ℕ, x->(x^x);   fog:ℕ×ℕ->ℕ×ℕ, (x,y)->((x^y),(x^y))

Ist (a,b) R (c,d):<=> 3(a^2)+5(b^2)=3(c^2)+5(d^2)  eine Äquivalenzrelation? Wie sehen die Äquivalenzklassen aus?

Ja (verwenden Sie 11.5 a) mit f(a,b)=3(a^2)+5(b^2), dann haben Sie es sofort! Die Äquivalenzklassen sind konzentrische Ellipsen.

Aus P(ℕ) nehmen wir die leere Menge und die Gesamtmenge ℕ weg und ordnen durch die Inklusion. Geben Sie die kleinsten, minimalen, größten und maximalen Elemente an.

\(Kleinste, \ 
    größte\ \ gibt\ es\ nicht . \ 
Maximal\ sind\ genau\ die\ Komplemente\ einelementigen\ Teilmengen . 
Minimal\ sind\ genau\ die\ einelementigen\ \(\(Teilmengen\)\(.\)\)\)

Quiz  #7    10.12.04

Bilden die ungeraden Zahlen eine Untergruppe von (ℤ,+)? Von (ℤ,.) ?

Nein, nein: Die Summe von zwei ungeraden Zahlen ist wieder gerade, und (ℤ,.) ist selbst gar keine Gruppe. Aber die ungeraden Zahlen bilden eine Unterhalbgruppe von (ℤ,.).

Berechnen Sie c+c.c+(2^c)+(2^a)

(2^c).

Bilden die Funktionen der Art x -> a sin x + b cos x (mit a,bϵℝ) einen Vektorraum über  ℝ ?

Ja: die Summe und das Vielfache einer Funktion obiger Bauart ist wieder von dieser Gestalt. Daher bilden diese Funktionen einen Unterraum von (ℝ^ℝ), somit selbst einen Vektorraum.

Quiz  #8    17.12.04

Sind im Vektorraum (ℝ^ℝ) die Funktionen exp und sin linear abhängig?

Test :  a . exp  +  b . sin = o ergibt für alle reellen x : 
a . (e^x) +  b . sin (x) = 0, woraus ( 
          zB  mit x = 0 und x = 
              1)
folgt :  a = b = 
        0.  Also sind sie   l . u .

Bilden die zweielementigen Teilmengen von {1,2,..., 2004} eine Basis für die Potenzmenge von {1,2,..., 2004} ?

Nein, zB sind {1,2},{2,3},{1,3} l.a., denn ihre Summe (=symmetrische Differenz) ist die leere Menge (=der Nullvektor in der Potenzmenge von {1,2,...,2004}).

Wie werden Sie Weihnachten verbringen?

Hoffentlich gut und erholsam ! Alles Gute!!!

Quiz  #9    14.1.05

V sei der Vektorraum der Potenzmenge von {1,2,..., 2005}.
Berechnen Sie dim V.

Die einelementigen Mengen bilden eine Basis .  
            Also ist dim V  =  2005.

Im Vektorraum (ℝ^3) seien U, U', U" die x-, die y- und die z-Achse. Berechnen Sie bitte U + (U'⌢U") sowie (U+U') ⌢U".

\(\(U + \((U'⌢U\*""")\) = \ \(U + 0\  = \ 
            U\);\)

      \((U + U')\)⌢U\*"""\  = \ 0. \)

V sei der Vektorraum aller reellen Polynomfunktionen vom Grad ≤6 und U der Unterraum aller Polynomfunktionen vom Grad ≤4. Finden Sie eine Basis eines Komplementärraums W von U in V. Welche Dimension hat W?

\(TraditionalForm\`Zum\ Beispiel\ W\  = \({f | f(x) = 
                  ax\^5\  + bx\^6 | \ a, 
                bϵ\ ℝ} . \ \ 
Eine\ Basis\ sind\ etwa\ die\ beiden\ Funktionen\ x -> \(x\^5\ und\ x -> x\^6\ und\ es\ gilt\ dimW\)\  = \ 
        2. \)\)